定义一：对称，指物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。
定义二：作为哲学范畴的对称是指宇宙的根本规律对立统一规律。同一性是宇宙的本质属性，也是对立统一规律的本质属性，所以作为哲学“对称”的对立统一规律不同于斗争性占主导、作为“矛盾”的对立统一规律。具体科学或日常生活中的对称，包括对应、对等、平衡等均为哲学“对称”的具体内容。对称逻辑、对称经济学的“对称”属于哲学范畴。
定义三：《对称》是举世闻名的大手笔小册子，是作者大学退休前“唱出的一支天鹅曲”，它由普林斯顿大学出版社将外尔（，曾译作魏尔或者凡尔）退休前的系列讲座汇编而成书。据说许多百科全书的“对称”条目都将外尔的这部小书列为主要参考文献。
定义四：在日常生活中和在艺术作品中，“对称”有更多的含义，常代表着某种平衡、比例和谐之意，而这又与优美、庄重联系在一起。外尔的书首先用一章讲镜像对称，涉及手性诸问题，有十分丰富的内容。
2001年诺贝尔化学奖奖励的课题主要是“手性分子催化”问题。如今，手性药物在药品市场占有相当的份额，有机分子手性对称性已经是相当实用和热门的话题。这里面仍然遗留下许多基本的问题没有解答，比如生命基本物质中的氨基酸、核酸的高度一致性的手性（即手性对称破缺）是如何起源的？植物茎蔓的手性缠绕是由什么决定的？同种植物是否可能具有不同的手性？ 左右对称在建筑艺术中有大量应用，但是人们也注意到完全的左右对称也许显得太死板，建筑设计者常用某种巧妙的办法打破严格的左右对称，如通过园林绿化或者通过立面前的雕塑或者广场非对称布局，有意打破严格的对称。通常，严格左右对称的建筑，都尽可能放在了具有非对称的周围环境之中。 公众可能较感兴趣的是作者对摩尔文化、埃及和中国实际装饰艺术品中对称性的分析。在二维装饰图案中，总共有17种本质上不同的对称性。作者说，在古代的装饰图案中，尤其是古埃及的装饰物中，能够找到所有17种对称性图案。到了19世纪，有了变换群的概念以后，人们才从理论上搞明白只有17种可能性（波利亚的证明），而古人确实穷尽了所有这些可能。外尔有一句话特别值得注意：“虽然阿拉伯人对数字5进行了长期的摸索，但是他们当然不能在任何一个有双重无限关联的装饰设计中，真正嵌入一个五重中心对称的图案。然而，他们尝试了各种容易让人上当的折衷方案。我们可以这样说，他们通过实践证明了在饰物中使用五边形是不可能的。”
这一论述非常关键，阿拉伯装饰艺术的确时常费力地尝试使用五次旋转对称。连续装饰图案中嵌入五次对称图元的麻烦之处在于，五次对称要涉及黄金分割，安排下一个五边形，则周围需要作复杂的调整，这要比安排三角形、四边形和六边形的情况复杂得多。《对称》还用相当篇幅讲晶体点阵的对称性，我当年学过结晶学和矿物学，知道这是相当复杂的事情，现依稀记得32种对称型，146种结晶单形，42种几何单形和230种空间群的数字，具体内容已经想不清楚了。外尔的处理当然并非想具体展示各种可能的晶格对称性，书中讨论得相当简略，这也给普通诸者阅读造成了困难。要想真正搞明白230种空间群，还真要读地质学的图书《结晶学与矿物学》。
守恒律与对称性的联系
可以肯定的是，杨振宁1962年出版的《原子物理中某些发现的小史》（中译本为《基本粒子发现简史》，上海科学技术出版社1963年出版）引用过（译名为凡尔），杨先生引的那句话“不对称很少仅仅由于对称的不存在”，已成为深刻的哲理名言。我写《分形艺术》时，也装潢门面，把外尔和杨先生的话一并引了。在自然科学和数学上，对称意味着某种变换下的不变性，即“组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性”，通常的形式有镜像对称（左右对称或者叫双侧对称）、平移对称、转动对称和伸缩对称等。物理学中守恒律都与某种对称性相联系。
生物形态的对称
一般指图形和形态被点、线或平面区分为相等的部分而言。在生物形态上主要的对称分为下列各种：（1）辐射对称：与身体主轴成直角且互为等角的几个轴（辐射轴）均相等，如果通过辐射轴把含有主轴的身体切开时，则常可把身体分为显镜像关系的两个部分。例如海星可见有五个辐射轴。另外在高等植物的茎和花等，也常具有辐射对称的结构；
（2）双辐射对称：只有两个辐射轴，彼此互成直角，形式上可以把它看成是从辐射对称向左右对称的过渡型（例如栉水母）；
（3）左右对称：或称两侧对称，是仅通过一个平面（正中矢面）将身体分为互相显镜像关系的两个部分（例如脊椎动物的外形）。在正中矢面内由身体前端至后端的轴称为头尾轴或纵轴，这个轴与身体长轴大都一致。在正中矢面内与头尾轴成直角并通过背腹的轴为背腹轴或矢状轴。还有与正中矢面成直角的轴称正中侧面轴（或内外轴）、该轴夹着正中矢面，彼此相等且具有方向相反的极性，如果将两侧的正中侧面轴合起来看成为一轴时，则称为横轴。在辐射对称中，如相当于海星的一根足的同型部分，称为副节（paramere），副节其本身成两侧对称。一般两侧对称的每一半为与同一轴相关而极向相反的同型部分，此称为对节或体辐。副节、对节等的同型部分，一般来看，仅相互方向不同，可认为这是与对外界的关系相同有着密切的联系。所以在个体发生或系统发生过程中其生活方式变化时，而与之相关的对称类型也时有变化。例如棘皮动物在自由运动的幼体期具有左右对称的体制，在接近静止生活的成体，则显有辐射对称的体制。再如比目鱼等左右体侧可成为二次的背腹关系。把无对称的关系称为非对称（asymetry），其中具有规则形态的在生物界可广泛见到的有螺旋性。此外还有即使外形上表现对称，但与外界无直接关系的内脏，基本既可表现为对称的，也有不少由于形态变形而表现为不对称的。
中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．
也就是说：
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
中心对称图形
正（2N）边形（N为大于1的正整数）、线段、圆、平行四边形、直线等。
实际上，除了直线外，所有中心对称图形都只有一个对称点。
既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等腰三角形，直角梯形，普通四边形
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
科学与艺术
科学和艺术都很重视对称性。对于科学，对称性决定了各种可能的守恒定律，因而具有更根本性的意义。在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间等一同讨论。人们通常从静态表现上理解对称性，有一定意义，但更重要的是从操作意义上、从生成过程上理解对称性。
一
在科学中，对称性是指某种操作下的不变性或者守恒性，对称性常与守恒定律相联系。与空间平移不变性对应的是动量守恒定律；与时间平移不变性对应的是能量守恒定律；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒。在弱相互作用中，“宇称”不守恒，自然界在C或P下不是对称的，在CP下也不是对称的，但却是CPT对称的。这里C表示电荷变号操作，相当于反转变换，如由底片洗出照片，电子变正电子，物质变反物质；P表示镜像反射操作，如人照镜子；T表示时间反演操作，如微观可逆过程。也就是说，当同时把粒子与反粒子互变（C）、左与右互变（P）、过去与未来互变（T），自然界又是对称的。
但把物质的宇称、超荷、同位旋等所有物理性质都加起来考虑，会发现它们总体上并不守恒，即对称性有破缺。人们假设，这是只考虑“物质”的结果，如果把“真空”也算在内，就有可能找回“失去的对称性”，总体上这世界仍然是对称的、守恒的。问题是科学家对真空的了解还不够多。为什么CP不守恒，而CPT就守恒？CPT守恒意味着什么？CPT真的永远守恒吗？这都是些非常重要而艰难的问题，还有很大一部分需要科学家进一步研究来解答。
对称性是第一世界固有的，还是第二世界强加于其上的？是自然界的属性，还是自然科学中物理定律的属性？或者问，对称性是客观的，还是主观的？一种简便的而肯定的回答是，对称性是客观的、自然世界固有的属性。这也是过去流行的观点，但此观点对于解决问题并不比相反的观点更具有优势。如果把认识世界视为一个复杂的、不断进步的过程，理解对称性也要放在一个过程之中进行，在此认识系统中，“属性”的词汇是不恰当。如果仍然保留“属性”一词，它也只能指对象在某种条件下表现出来的功能，这也可以称作“条件主义”科学哲学。条件也即约束，可对应于某种操作，标示某种认识层次。对称性原理均根植于“不可观测量”的理论假设上；不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。（李政道）那么“不可观测”是不是由于我们认识能力而导致的一种假相呢？
李政道说：“这些‘不可观测量’中，有一些只是由于我们测量能力的限制。当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然要扩大。因而，完全有可能到某种时候，我们能够探测到某个假设的‘不可观测量’，而这正是对称破坏的根源。然而，当确实发生这样的破坏时，一个更深入的问题是，我们怎么能够确信这不是意味着世界不对称呢？是否有可能，自然界基本规律仍然是对称的？是自然规律不对称，还是世界不对称？这两种观点究竟有什么区别呢？”此论述概括了理论物理学的认识过程，更涉及一些基本的哲学问题。
二
当年数学家魏尔（H．Weyl）在讨论艺术作品中的对称性时，提到西方艺术像其生活一样，倾向于缓解、放宽、修正，甚至打破严格的对称性，接着有一名句：“但是不对称很少是仅仅由于对称的不存在。”（《对称》，商务1986，第11页）杨振宁引用了魏尔的话，并加上一句评论：“这句话有物理学中似乎也是正确的。”（《基本粒子发现简史》，上海科技1979，第58页）我们则又加一句，无论对于科学还是艺术，“同样，找到对称也绝对不是仅仅由于非对称的不存在。”
科学和艺术都是讲究对称性的，对称性意味着某种规则，很难想象像科学与艺术如此宏大而不断积累的人类文明会没有规则，杂乱无章。那么是否可以推论出，科学与艺术只关注规则、对称性，并且只有对称的东西才称得上科学与艺术呢？答案是否定的。李政道1996年5月23日在中央工艺美术学院的演讲中曾指出：“艺术与科学，都是对称与不对称的巧妙组合。”这无疑是正确的。对称是美，不对称也是美，准确说，对称与对称破缺的某种组合才是美。“单纯对称和单纯不对称都是单调。一个对称的建筑只有放在不对称的环境空间中才显得美，反之亦然。”
无论对于科学还是对于艺术，对称性都涉及不同的方面和不同的层次。不同方面指对称的多样性：平移对称（连续装饰花纹、花布）、旋转对称（穹窿、五角星、伞、晶体）、左右对称性（建筑立面、人体）及联合操作对称性（埃舍尔的《骑士图》，类似CP操作）。不同方面还涉及局部与整体的关系，对称性有长程整体对称（如晶体），也有局部短程对称（如准晶、凯尔特装饰艺术），这些在科学与艺术作品中都有许多实例。不同层次指对称性依赖于物质层次或者观念层次，在不同的层次上对称性可以很不相同，以人体为例，外表是左右对称的，但内脏则不是，心脏通常靠近左侧，肾等还是对称的。凯尔特艺术（Celticart）有很强的规则性，可以明显地发现少数基本结构在不同的层次上重复出现，不同层次的对称性与对称性破缺相互照应，细节丰富、层次分明，给予人以较强的装饰效果。可以肯定地说，凯尔特艺术有意识地利用了伸缩变换不变性，即标度变换下的不变性，也就是自相似对称性。特别有趣的是，在分形科学与艺术中，能够观察到各种对称性，既有不同方面的也有不同层次的，通过复函数计算机迭代，非常容易地展示这些对称性。
